So`nggi topshiriqlar

Topshiriqni yuklab oling

1. Ixtiyoriy $5$ ga karrali bo‘lmagan butun sonni kvadratini $5$ ga bo‘lganda $1$ yoki $4$ qoldiq qolishini isbotlang.

2. Barcha natural sonlar bir qator qilib, ketma-ket yozilganda $123456789101112\ldots$, dastlabki ketma-ket kelgan uchta $7$ ajratib olindi. Bu $7$ lar nechinchi o‘rinlarda turishini aniqlang.

3. $a^2+b^2-8c=6$ tenglamani butun sonlarda yeching.

4. $1^1 + 2^2 + 3^3 + \ldots + 999^{999} + 1000^{1000}$ yig‘indining birinchi uchta raqamini toping.

5. Tomonlarining uzunliklari $a$, $b$, $c$ bo‘lgan $ABC$ uchburchak berilgan. $x=\sqrt{a(-a+b+c)}$, $y=\sqrt{b(a-b+c)}$ va $z=\sqrt{c(a+b-c)}$ deb belgilash kiritilgan bo‘lsin. U holda:

(1). Tomonlarining uzunliklari $x$, $y$, $z$ ga teng bo‘lgan, $XYZ$ uchburchakning mavjudligini isbotlang.

(2). Ushbu $XYZ$ uchburchakning perimetri $ABC$ uchburchakning perimetridan katta bo‘la olmasligini isbotlang.

(3). Agar $S_{\triangle ABC} = 2017$ bo‘lsa, u holda $S_{\triangle XYZ}$ ni toping, bu yerda $S$ – uchburchak yuzasi.

6. (1). Barcha, shunday $p$, $q$, $r$ tub sonlarni topingki, $p^4+q^4+r^4-3$ ham tub son bo‘lsin.

(2). Barcha, shunday $p$, $q$, $r$, $s$ tub sonlarni topingki, $p^4+q^4+r^4+14=s^2$ tenglik o‘rinli bo‘lsin.

Javoblarni junatish muddati: 10.05.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet
Topshiriqni yuklab oling

1. $a^2+b+2$, $b^2+c+2$, $c^2+a+2$ lar to‘la kvadrat bo‘ladigan barcha $(a,b,c)\in \mathbb{N}^3$ natural sonlar uchliklarini toping.

2. Agar $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ funksiya uchun

\[ f(x+3f(y))=f(x)+f(y)+2y \]

tenglik ixtiyoriy $x,y\in \mathbb{Q}$ larda o‘rinli bo‘lsa, u holda $f$ funksiyani toping.

3. $ab+bc+ca=\frac{2}{3}$ shartni qanoatlantiruvchi musbat $a$, $b$, $c$ sonlar uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang:

\[ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3+(M-m)^2, \]

bu yerda $M=\max(a,b,c)$ va $m=\min(a,b,c)$.

4. Aytaylik, bizga $\triangle ABC$ berilgan va $ABZ_1Z_2$, $BCX_1X_2$, $CAY_1Y_2$ to‘g‘ri to‘rtburchaklar uchburchakka tashqi tomondan chizilgan bo‘lsin. $A^\prime(\cdot)$ – uchburchak tekisligidagi shunday nuqtaki, $A^\prime X_2\perp Z_1X_2$ va $A^\prime X_1\perp Y_2X_1$ shartlarni qanoatlantiradi. Xuddi shunday, $B^\prime$ va $C^\prime$ nuqtalar ham aniqlangan. U holda $AA^\prime$, $BB^\prime$ va $CC^\prime$ to‘g‘ri chiziqlar bitta nuqtada kesishini isbotlang.

5. $C_{2n}^{n},C_{2n-1}^{n},\ldots,C_{n+1}^{n}$ sonlarining umumiy toq bo‘luvchisi $2^n-1$ ning ham bo‘luvchisi ekanini isbotlang. Bu yerda, $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$, $n\ge m$.

6. Aytaylik, bizga biror $X$ chekli to‘plam berilgan va bu to‘plam $2$ xil usulda $n$ ta o‘zaro kesishmaydigan $A_1,A_2,\ldots,A_n$ va $B_1,B_2,\ldots,B_n$ qism to‘plamlarga ajratilgan: ya’ni barcha $i\neq j$ lar uchun $A_i \cap A_j=\emptyset$, $B_i\cap B_j=\emptyset$ va $\bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} B_k = X$. Faraz qilaylik, ixtiyoriy ikkita kesishmaydigan $A_i$ va $B_j$ qism to‘plamlar uchun $|A_i\cup B_j|\ge n$ shart o‘rinli bo‘lsin. U holda $|X|\ge \frac{n^2}{2}$ ni isbotlang. Bu yerda $|Y|$ – $Y$ to‘plamning elementlari soni.

Javoblarni junatish muddati: 10.05.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet
Topshiriqni yuklab oling

1. Agar $n\in\mathbb{N}$ bo‘lsa, u holda quyidagi tengliklarni isbotlang:

\[ \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}dx=\frac{\pi}{2}, \]

\[ \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2nx}{\sin x}dx=2\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}. \]

2. Sirkul va chizg‘ich yordamida teng tomonli uchburchakni shunday bo‘laklarga bo‘lingki, ulardan kvadrat hosil qilib bo‘lsin.

3. Ixtiyoriy $(a,b)\subset \mathbb{R}$ da kontinium uzulishga hamda kontinium uzluksiz nuqtaga ega bo‘lgan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funksiya quring.

4. Agar $p>3$ tub son hamda

\[ \frac{n}{m}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p} \]

bo‘lsa, u holda $n-m$ qiymat $p^3$ ga bo‘linishini isbotlang.

5. Agar $\{{{x}_{n}}\}$ ketma-ketlik uchun ${{x}_{1}}=1$ va ${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+\frac{1}{{{x}_{n}}}$ shartlar bajarilsa, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{{{x}_{n}}}{\sqrt{n}}$ ni toping.

6. Agar $f\in {{C}^{1}}[a,b]$ va

\[ \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f^\prime (x)dx}=0 \]

bo‘lsa, u holda

\[ |f(x)| \le \frac{1}{2}\int\limits_{a}^{b}{|f^\prime (x)|dx},\,\,\,\,\forall x\in [a,b] \]

tengsizlikni isbotlang.

Javoblarni junatish muddati: 10.05.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet

Yangiliklar va tadbirlar

Bog`lanish ma`lumotlari

Biz ijtimoiy tarmoqlarda