Umumta’lim maktab o‘quvchilari uchun

Topshiriqni yuklab oling

1. Ixtiyoriy $5$ ga karrali bo‘lmagan butun sonni kvadratini $5$ ga bo‘lganda $1$ yoki $4$ qoldiq qolishini isbotlang.

2. Barcha natural sonlar bir qator qilib, ketma-ket yozilganda $123456789101112\ldots$, dastlabki ketma-ket kelgan uchta $7$ ajratib olindi. Bu $7$ lar nechinchi o‘rinlarda turishini aniqlang.

3. $a^2+b^2-8c=6$ tenglamani butun sonlarda yeching.

4. $1^1 + 2^2 + 3^3 + \ldots + 999^{999} + 1000^{1000}$ yig‘indining birinchi uchta raqamini toping.

5. Tomonlarining uzunliklari $a$, $b$, $c$ bo‘lgan $ABC$ uchburchak berilgan. $x=\sqrt{a(-a+b+c)}$, $y=\sqrt{b(a-b+c)}$ va $z=\sqrt{c(a+b-c)}$ deb belgilash kiritilgan bo‘lsin. U holda:

(1). Tomonlarining uzunliklari $x$, $y$, $z$ ga teng bo‘lgan, $XYZ$ uchburchakning mavjudligini isbotlang.

(2). Ushbu $XYZ$ uchburchakning perimetri $ABC$ uchburchakning perimetridan katta bo‘la olmasligini isbotlang.

(3). Agar $S_{\triangle ABC} = 2017$ bo‘lsa, u holda $S_{\triangle XYZ}$ ni toping, bu yerda $S$ – uchburchak yuzasi.

6. (1). Barcha, shunday $p$, $q$, $r$ tub sonlarni topingki, $p^4+q^4+r^4-3$ ham tub son bo‘lsin.

(2). Barcha, shunday $p$, $q$, $r$, $s$ tub sonlarni topingki, $p^4+q^4+r^4+14=s^2$ tenglik o‘rinli bo‘lsin.

Javoblarni junatish muddati: 10.05.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet
Topshiriqni yuklab oling

1. Raqamlari ko‘paytmasi $4$ ga teng bo‘lgan barcha $3$ xonali sonlar yig‘indisini toping.

2. Ushbu $(a^{2}+1)(b^{2}+1)=(a+b)(ab+1)$ tenglamaning barcha haqiqiy yechimlarini toping.

3. $10 \times 10$ doskani $4 \times 1$ ko‘rinishidagi to‘g‘ri to‘rtburchaklarga bo‘lib chiqish mumkinmi?

4. Yig‘indisi $8$ ga teng bo‘lgan musbat $x,y,z$ sonlar uchun quyidagi tengsizliklarni isbotlang:

\[ (a) \quad [x]^{4}+[y]^{4}+[z]^{4} \geq 48, \]

\[ (b) \quad [x]^{3}+[y]^{3}+[z]^{3} \geq 24, \]

bu yerda $[x]$ – $x$ sonning butun qismi.

5. $ABC$ uchburchakda $C$ burchagi to‘g‘ri burchak bo‘lsin. $AA_{1}$ va $BB_{1}$ kesmalar mos ravishda $BAC$ burchak va $ABC$ burchaklarning bissektrisalari. $A_{1}CB_{1}$ uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazini $O$ nuqta bilan belgilaylik. U holda $OC \bot AB$ ekanligini isbotlang.

6. $a=-\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$, $b=\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{7}$ va $c=\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7}$ bo‘lsin. U holda quyidagi ifodaning qiymatini toping:

\[ \frac{a^{4}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{4}}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^{4}}{(c-a)(c-b)}. \]

Javoblarni junatish muddati: 15.04.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet
Topshiriqni yuklab oling

1. $53 \cdot 83 \cdot 109 + 40 \cdot 66 \cdot 96$ soni murakkab son ekanligini isbotlang.

2. Musbat $a$, $b$ sonlar uschun

\[ (a+b) (1+\sqrt{ab}) \geq 2 \sqrt{ab(1+a)(1+b)} \]

tengsizlikni isbotlang.

3. $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 10^n$ soni nechta nol bilan tugaydi?

4. $ABC$ uchburchakda $\angle BAC = 60^0$ va $AB > AC$, $O$ — tashqi chizilgan aylana markazi, $BE$ va $CF$ balandliklar $H$ nuqtada kesishadi. $M$ va $N$ nuqtalar $BH$ va $HF$ kesmadan $BM = CN$ qilib tanlanagan. Quyidagi ifodaning qiymatini toping:

\[ \frac{MH + NH}{OH} .\]

5. Nodir do‘sti Alisherni telefon raqamini unutib qo‘ydi. Ammo u boshidagi uchta raqamini va qolgan to‘rtta raqami o‘sish tartibida (qat’iy emas) ekanligini esladi. Shunday shartni qanoatlantiruvchi nechta telefon raqami bo‘lishi mumkin?

Yechimlarni qabul qilish muddati 25 martgacha uzaytirildi.
Javoblarni junatish muddati: 25.03.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet