Akademik litsey va kasb-hunar kollej o‘quvchilari uchun

Topshiriqni yuklab oling

1. $a^2+b+2$, $b^2+c+2$, $c^2+a+2$ lar to‘la kvadrat bo‘ladigan barcha $(a,b,c)\in \mathbb{N}^3$ natural sonlar uchliklarini toping.

2. Agar $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ funksiya uchun

\[ f(x+3f(y))=f(x)+f(y)+2y \]

tenglik ixtiyoriy $x,y\in \mathbb{Q}$ larda o‘rinli bo‘lsa, u holda $f$ funksiyani toping.

3. $ab+bc+ca=\frac{2}{3}$ shartni qanoatlantiruvchi musbat $a$, $b$, $c$ sonlar uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang:

\[ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3+(M-m)^2, \]

bu yerda $M=\max(a,b,c)$ va $m=\min(a,b,c)$.

4. Aytaylik, bizga $\triangle ABC$ berilgan va $ABZ_1Z_2$, $BCX_1X_2$, $CAY_1Y_2$ to‘g‘ri to‘rtburchaklar uchburchakka tashqi tomondan chizilgan bo‘lsin. $A^\prime(\cdot)$ – uchburchak tekisligidagi shunday nuqtaki, $A^\prime X_2\perp Z_1X_2$ va $A^\prime X_1\perp Y_2X_1$ shartlarni qanoatlantiradi. Xuddi shunday, $B^\prime$ va $C^\prime$ nuqtalar ham aniqlangan. U holda $AA^\prime$, $BB^\prime$ va $CC^\prime$ to‘g‘ri chiziqlar bitta nuqtada kesishini isbotlang.

5. $C_{2n}^{n},C_{2n-1}^{n},\ldots,C_{n+1}^{n}$ sonlarining umumiy toq bo‘luvchisi $2^n-1$ ning ham bo‘luvchisi ekanini isbotlang. Bu yerda, $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$, $n\ge m$.

6. Aytaylik, bizga biror $X$ chekli to‘plam berilgan va bu to‘plam $2$ xil usulda $n$ ta o‘zaro kesishmaydigan $A_1,A_2,\ldots,A_n$ va $B_1,B_2,\ldots,B_n$ qism to‘plamlarga ajratilgan: ya’ni barcha $i\neq j$ lar uchun $A_i \cap A_j=\emptyset$, $B_i\cap B_j=\emptyset$ va $\bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} B_k = X$. Faraz qilaylik, ixtiyoriy ikkita kesishmaydigan $A_i$ va $B_j$ qism to‘plamlar uchun $|A_i\cup B_j|\ge n$ shart o‘rinli bo‘lsin. U holda $|X|\ge \frac{n^2}{2}$ ni isbotlang. Bu yerda $|Y|$ – $Y$ to‘plamning elementlari soni.

Javoblarni junatish muddati: 10.05.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet
Topshiriqni yuklab oling

1. Quyidagi tenglamani butun sonlarda yeching:

\[ x^5+y^5=2017^{2017}. \]

2. Agar qavariq $ABCD$ to‘rtburchakda $AB=8$, $AD=5$ va

\[ \angle ABD=\angle BCD, \quad \angle ADB=\angle ABD+\angle BDC \]

munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda $BC$ ni toping.

3. (1) Sinf doskasida $1,2,\ldots,10$ sonlari aylana bo‘ylab (qandaydir tartibda) yozilgan. Sinfdagi o‘quvchilardan biri doskaga chiqdi va aylanadagi barcha yonma-yon turgan uchliklarni qo‘shib, hosil bo‘lgan yig‘indilar ichidan eng kichigini doskaga yozdi. O‘quvchi doskaga yozishi mumkin bo‘lgan eng katta sonni toping.

(2) Yuqoridagi masalada, agar o‘quvchi barcha yonma-yon turgan uchliklar yig‘indilarining ichidan eng kattasini doskaga yozadigan bo‘lsa, o‘quvchi doskaga yozishi mumkin bo‘lgan eng kichik sonni toping.

4. Aytaylik, $a,b$ ratsional sonlar berilgan va bu sonlar

\[ a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b+1=0 \]

tenglikni qanoatlantiradi. U holda $\sqrt{1-ab}$ ham ratsional son bo‘lishini isbotlang.

5. $(1,2,\ldots,n)$ ning $x_1\le 2x_2\le \ldots \le nx_n$ shartni qanoatlantiruvchi barcha $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ o‘rin almashtirishlari sonini $S_n$ orqali belgilaylik. U holda

    (1) $S_5$ ni toping;

    (2) Ixtiyoriy $n$ natural son uchun $S_{n}$ ni toping.

6. $ABCD$ to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan. Aytaylik, $A$ va $C$ nuqtalardan o‘tuvchi biror $\Gamma$ ($ABCD$ ning tashqi aylanasidan farqli) aylana olingan. $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ aylanalar $ABCD$ to‘g‘ri to‘rtburchakning ichida yotib, $\Gamma_1$ aylana $AB$, $BC$ tomonlarga va $\Gamma$ aylanaga, $\Gamma_2$ aylana esa $CD$, $DA$ tomonlarga va $\Gamma$ aylanaga urinadi. U holda $\Gamma_1$ va $\Gamma_2$ aylanalarning radiuslari yig‘indisi o‘zgarmasligini, ya’ni $\Gamma$ aylananing tanlanishiga bog‘liq emasligini isbotlang.

Javoblarni junatish muddati: 15.04.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet
Topshiriqni yuklab oling

1. $n$ — toq tub son bo‘lsa $\sqrt{k^2 - nk}$ natural son bo‘ladigan $k$ natural sonlar yig‘indisini toping.

2. Shunday $f: \mathbf{R} \ \{0\} \to \mathbf{R}$ funksiyalarni topingki barcha $x \in \mathbf{R} \setminus \{0\}$ uchun

\[ 3f(-x) + f\left( \frac{1}{x} \right) + f(x) = 1 \]

tenglik bajarilsin.

3. $p$ ning qanday haqiqiy qiymatlarida

\[ x^4 - 6x^3 + (17 - 2p) x^2 + (6p - 26)x + p^2 - 9p + 20 = 0 \]

tenglama uchta haqiqiy yechimga ega?

4. Tenglamani yeching

\[ [x^2 + 2x] = [x]^2 + 2[x], \]

bu yerda $[x]$ — $x$ ning butun qismi.

5. Aylanaga ixtiyoriy tartibda $15$ ta $1,2,3,\ldots,15$ sonlari yozilgan. Ularni biror tartibda ketma-ket $10$ tasini yig‘indisi olinadi va natijada $15$ ta yig‘indi hosil bo‘ladi. Bu yig‘indilarni eng kichigini $S$ bilan belgilaymiz. $S$ ning qabul qilishi mumkin bo`lgan eng katta qiymatini toping.

Yechimlarni qabul qilish muddati 25 martgacha uzaytirildi.
Javoblarni junatish muddati: 25.03.2017
Javoblaringizni quyidagi imkoniyatlar orqali yuborishingiz mumkin:
  1. Email: yoshmatematiklar@mail.ru
  2. Telegram: @ms_nuu
  3. Shaxsiy kabinet